P17834 [CSP-S 2026] 研发基地 / hub（官方数据）

• 题号：P17834
• 难度：NOI/NOI+/CTSC（8）
• 标签：动态规划 DP、二分、O2优化、树形 DP、树的直径、树链剖分、虚树、2026、CSP-S 提高级
• 时间限制：4000 ms
• 内存限制：1024 MB
• 样例数：1
• 提交 / 通过：13404 / 1887
• 抓取时间：2026-11-11T12:06:58.155Z
• 正文来源：problem.content（zh-CN）

题目背景

考虑评测机性能差异，时限临时增加 1 秒。

题目描述

小 W 曾是一名科研爱好者。在 C 国工作时，他担任测试员，日复一日地测试各种新型传送门，在城市之间来回穿梭。久而久之，他厌倦了这样的生活，于是辞去工作，来到没有任何传送门的 D 国，希望在这里重新找回对研发的热爱。

在开始研发之前，小 W 需要建造研发基地。D 国共有 $n$ 座城市，编号为 $1$ 到 $n$。这 $n$ 座城市由 $n-1$ 条道路连接，其中第 $i\ (1\le i\le n-1)$ 条道路连接第 $u_i$ 座和第 $v_i$ 座城市。若将每座城市视作一个点，将每条道路视作连接两个点的边，则这 $n$ 座城市和 $n-1$ 条道路构成一棵树 $T$。

小 W 的经费有限，他计划选择恰好 $k$ 座城市，在每座选中的城市里各建造一个研发基地。为了便于这些基地之间的协作，小 W 希望选中的城市在 $T$ 中对应的点形成不超过两个连通块。形式化地，定义建造方案 $S\subseteq\{1,2,\ldots,n\}$ 是合理的，当且仅当 $|S|=k$，且 $S$ 在 $T$ 中形成的连通块数量不超过 $2$。

对于合理的建造方案 $S$，定义第 $i\ (1\le i\le n)$ 座城市的通勤距离为 $d(i)=\min_{j\in S}\operatorname{dist}(i,j)$，其中 $\operatorname{dist}(i,j)$ 表示从第 $i$ 座城市到第 $j$ 座城市所需经过的道路的最少条数。特别地，若 $i\in S$，则 $d(i)=0$。定义该建造方案的通勤半径为所有城市通勤距离的最大值，即 $\max_{i=1}^{n}d(i)$。

你需要帮助小 W 求出，所有合理的建造方案的通勤半径的最小值。

输入格式

从文件 hub.in 中读入数据。

本题包含多组测试数据。

输入的第一行包含两个非负整数 $c,t$，分别表示测试点编号与测试数据组数。特别地，若 $c=0$，则该测试点为样例。

接下来依次输入 $t$ 组测试数据。对于每组测试数据：

• 第一行包含两个正整数 $n,k$，分别表示城市数量和小 W 计划建造的研发基地数量。
• 第 $i+1\ (1\le i\le n-1)$ 行包含两个正整数 $u_i,v_i$，分别表示第 $i$ 条道路连接的两座城市的编号。

输出格式

输出到文件 hub.out 中。

对于每组测试数据，输出一行一个非负整数，表示所有合理的建造方案的通勤半径的最小值。

附件

• hub.zip

样例

样例 1 输入

0 2
5 2
1 2
2 3
3 4
4 5
10 3
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 7
3 8
7 9
9 10

样例 1 输出

1
2

提示

样例 1 解释

该样例共包含两组测试数据。

对于第一组测试数据，共有 $10$ 种合理的建造方案。按通勤半径分类如下：

• 通勤半径为 $1$ 的方案：$S=\{1,4\}$，$S=\{2,4\}$，$S=\{2,5\}$；
• 通勤半径为 $2$ 的方案：$S=\{1,3\}$，$S=\{1,5\}$，$S=\{2,3\}$，$S=\{3,4\}$，$S=\{3,5\}$；
• 通勤半径为 $3$ 的方案：$S=\{1,2\}$，$S=\{4,5\}$。

因此，所有合理的建造方案的通勤半径的最小值为 $1$。

对于第二组测试数据，一种合理的建造方案为 $S=\{2,7,9\}$，其中第 $2$ 座城市单独构成一个连通块，第 $7$ 座和第 $9$ 座城市构成一个连通块。该建造方案的通勤半径为 $2$。

样例 2

见题目目录下的 hub/2.in 与 hub/2.ans。

该样例满足测试点 $2,3$ 的约束条件。

样例 3

见题目目录下的 hub/3.in 与 hub/3.ans。

该样例满足测试点 $8$ 的约束条件。

样例 4

见题目目录下的 hub/4.in 与 hub/4.ans。

该样例满足测试点 $11,12$ 的约束条件。

样例 5

见题目目录下的 hub/5.in 与 hub/5.ans。

该样例满足测试点 $13,14$ 的约束条件。

数据范围

设 $N$ 为单个测试点内所有测试数据的 $n$ 的和。对于所有测试数据，均有：

• $0\le c\le 20$，$1\le t\le 5$；
• $2\le n\le 10^6$，$N\le 2\times 10^6$，$2\le k\le n$；
• 对于所有 $i\ (1\le i\le n-1)$，均有 $1\le u_i,v_i\le n$，且所有 $(u_i,v_i)$ 构成一棵树。

::cute-table{tuack}

测试点编号	$n\le$	$N\le$	$k\le$	特殊性质
$1$	$5$	$15$	$5$	无
$2,3$	$10$	$30$	$10$	^
$4\sim 6$	$100$	$300$	$100$
$7$	$1000$	$3000$	$2$
$8$	^		$1000$
$9,10$	$4000$	$10^4$	$4000$
$11,12$	$10^5$	$3\times 10^5$	$2$
$13,14$	^		$10^5$	A
$15$	$5\times 10^5$	$10^6$	$10$	无
$16,17$	^		$5\times 10^5$	^
$18\sim 20$	$10^6$	$2\times 10^6$	$10^6$

特殊性质 A：存在正整数 $m$ 满足 $n=2m+1$，且对于所有 $i\ (1\le i\le m)$，均有 $u_i=i$ 且 $v_i=i+1$；对于所有 $i\ (m+1\le i\le n-1)$，均有 $u_i=i-m$ 且 $v_i=i+1$。

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由 fetch_luogu_statements.mjs v1.0.0 自动抓取生成；原始数据见 json/P17834.json。