P17832 [CSP-S 2026] 地铁 / subway（官方数据）

• 题号：P17832
• 难度：普及+/提高−（4）
• 标签：图论、O2优化、图论建模、最短路、2026、CSP-S 提高级、Floyd 算法
• 时间限制：1000 ms
• 内存限制：1024 MB
• 样例数：2
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• 抓取时间：2026-11-11T12:06:54.834Z
• 正文来源：problem.content（zh-CN）

题目描述

B 市共有 $m$ 个地铁站，编号为 $1$ 到 $m$。每个地铁站都有一个站厅，地铁口与站厅之间有一条通道，往返耗时相同。从第 $v$（$1 \le v \le m$）个地铁站的地铁口走到站厅需要 $w_v$ 的时间。

B 市共有 $n$ 条地铁线路，编号为 $1$ 到 $n$，其中第 $i$（$1 \le i \le n$）条线路经过 $k_i$ 个地铁站，编号依次为 $a_{i,1},a_{i,2},\ldots,a_{i,k_i}$。在第 $a_{i,j}$（$1 \le j \le k_i$）个地铁站处，从站厅走到第 $i$ 条线路的站台需要 $t_{i,j}$ 的时间，往返耗时相同。同一条线路不会重复经过同一个地铁站，即 $a_{i,1},a_{i,2},\ldots,a_{i,k_i}$ 两两不同。

由于空间有限，每个地铁站最多有 $d$ 条线路经过。此外，B 市的地铁网络是连通的，即任意两个地铁站都可以通过若干条线路互相到达。

小 R 有 $q$ 个出行计划。对于第 $r$（$1 \le r \le q$）个出行计划，小 R 将从第 $x_r$ 个地铁站的地铁口出发，乘坐地铁到达第 $y_r$ 个地铁站的地铁口，途中可能进行若干次站内换乘。每次站内换乘都需要从一条线路的站台先走到站厅，再从站厅走到另一条线路的站台。每个出行计划的总步行时间为进出站和换乘的步行时间之和。小 R 希望每个出行计划的总步行时间都尽可能少。

你需要帮助小 R 求出，每个出行计划的最小总步行时间。

输入格式

从文件 subway.in 中读入数据。

输入的第一行包含五个非负整数 $c,n,m,d,q$，分别表示测试点编号、地铁线路数、地铁站数、每个地铁站最多被几条线路经过，以及出行计划数。特别地，若 $c=0$，则该测试点为样例。

输入的第二行包含 $m$ 个正整数 $w_1,w_2,\ldots,w_m$，依次表示从每个地铁站的地铁口走到站厅需要的时间。

输入的第 $i+2$（$1 \le i \le n$）行包含 $1+2k_i$ 个正整数，其中第一个正整数为 $k_i$，表示第 $i$ 条线路经过的地铁站数；接下来 $2k_i$ 个正整数为 $a_{i,1},t_{i,1},a_{i,2},t_{i,2},\ldots,a_{i,k_i},t_{i,k_i}$，其中 $a_{i,j}$ 表示第 $i$ 条线路经过的第 $j$ 个地铁站，$t_{i,j}$ 表示从该地铁站的站厅走到第 $i$ 条线路的站台需要的时间。

输入的第 $r+n+2$（$1 \le r \le q$）行包含两个正整数 $x_r,y_r$，分别表示第 $r$ 个出行计划的起点和终点所在的地铁站编号。

输出格式

输出到文件 subway.out 中。

输出 $q$ 行，其中第 $r$（$1 \le r \le q$）行包含一个非负整数，表示第 $r$ 个出行计划的最小总步行时间。

附件

• subway.zip

样例

样例 1 输入

0 2 5 20 2
4 1 9 2 5
3 1 5 2 7 4 6
3 2 3 3 4 5 7
1 3
1 2

样例 1 输出

32
17

样例 2 输入

0 3 7 20 2
8 3 6 1 7 2 9
3 1 4 2 5 5 100
3 2 6 3 1 7 2
4 3 2 5 100 4 6 6 7
1 6
2 3

样例 2 输出

35
16

提示

样例 1 解释

B 市有 $5$ 个地铁站，从各地铁口走到站厅需要的时间分别为 $4,1,9,2,5$。

B 市有 $2$ 条地铁线路，其中第 $1$ 条线路依次经过第 $1,2,4$ 个地铁站，第 $2$ 条线路依次经过第 $2,3,5$ 个地铁站，两条线路在第 $2$ 个地铁站相交。

对于第 $1$ 个出行计划，小 R 将从第 $1$ 个地铁站前往第 $3$ 个地铁站：他可以先从第 $1$ 个地铁站的地铁口走到站厅，再走到第 $1$ 条线路的站台，乘坐第 $1$ 条线路到达第 $2$ 个地铁站后走回站厅，再走到第 $2$ 条线路的站台，乘坐第 $2$ 条线路到达第 $3$ 个地铁站后走回站厅，最后走到第 $3$ 个地铁站的地铁口，总步行时间为

$$w_1+t_{1,1}+(t_{1,2}+t_{2,1})+t_{2,2}+w_3=4+5+(7+3)+4+9=32.$$

对于第 $2$ 个出行计划，小 R 将从第 $1$ 个地铁站前往第 $2$ 个地铁站：他可以先从第 $1$ 个地铁站的地铁口走到站厅，再走到第 $1$ 条线路的站台，乘坐第 $1$ 条线路到达第 $2$ 个地铁站后走回站厅，最后走到第 $2$ 个地铁站的地铁口，总步行时间为

$$w_1+t_{1,1}+t_{1,2}+w_2=4+5+7+1=17.$$

样例 2 解释

B 市有 $7$ 个地铁站与 $3$ 条地铁线路，其中第 $1$ 条线路依次经过第 $1,2,5$ 个地铁站，第 $2$ 条线路依次经过第 $2,3,7$ 个地铁站，第 $3$ 条线路依次经过第 $3,5,4,6$ 个地铁站。

对于第 $1$ 个出行计划，小 R 将从第 $1$ 个地铁站前往第 $6$ 个地铁站：他可以先从第 $1$ 个地铁站的地铁口走到站厅，再走到第 $1$ 条线路的站台，乘坐第 $1$ 条线路到达第 $2$ 个地铁站后走回站厅，再走到第 $2$ 条线路的站台，乘坐第 $2$ 条线路到达第 $3$ 个地铁站后走回站厅，再走到第 $3$ 条线路的站台，乘坐第 $3$ 条线路到达第 $6$ 个地铁站后走回站厅，最后走到第 $6$ 个地铁站的地铁口，总步行时间为

$$w_1+t_{1,1}+(t_{1,2}+t_{2,1})+(t_{2,2}+t_{3,1})+t_{3,4}+w_6=35.$$

对于第 $2$ 个出行计划，小 R 将从第 $2$ 个地铁站前往第 $3$ 个地铁站：他可以先从第 $2$ 个地铁站的地铁口走到站厅，再走到第 $2$ 条线路的站台，乘坐第 $2$ 条线路到达第 $3$ 个地铁站后走回站厅，最后走到第 $3$ 个地铁站的地铁口，总步行时间为

$$w_2+t_{2,1}+t_{2,2}+w_3=16.$$

样例 3

见题目目录下的 subway/3.in 与 subway/3.ans。

该样例满足测试点 $4 \sim 6$ 的约束条件。

样例 4

见题目目录下的 subway/4.in 与 subway/4.ans。

该样例满足测试点 $9 \sim 11$ 的约束条件。

样例 5

见题目目录下的 subway/5.in 与 subway/5.ans。

该样例满足测试点 $12 \sim 15$ 的约束条件。

样例 6

见题目目录下的 subway/6.in 与 subway/6.ans。

该样例满足测试点 $16 \sim 19$ 的约束条件。

样例 7

见题目目录下的 subway/7.in 与 subway/7.ans。

该样例满足测试点 $22,23$ 的约束条件。

数据范围

对于所有测试数据，均有：

• $0 \le c \le 25$，$1 \le n \le 500$，$1 \le m \le \sum_{i=1}^{n} k_i \le 5 \times 10^5$，$1 \le d \le 20$，$1 \le q \le 10^5$；
• 对于所有 $v$（$1 \le v \le m$），均有 $1 \le w_v \le 10^9$；
• 对于所有 $i$（$1 \le i \le n$），均有 $1 \le k_i \le m$；
• 对于所有 $i,j$（$1 \le i \le n$，$1 \le j \le k_i$），均有 $1 \le a_{i,j} \le m$，$1 \le t_{i,j} \le 10^9$；
• 对于所有 $i$（$1 \le i \le n$），均有 $a_{i,1},a_{i,2},\ldots,a_{i,k_i}$ 两两不同；
• 对于所有 $v$（$1 \le v \le m$），经过第 $v$ 个地铁站的线路数均不超过 $d$；
• 任意两个地铁站都可以通过若干条线路互相到达；
• 对于所有 $r$（$1 \le r \le q$），均有 $1 \le x_r,y_r \le m$，且 $x_r \ne y_r$。

::cute-table{tuack} | 测试点编号 | $n \le$ | $\sum_{i=1}^{n} k_i \le$ | $d \le$ | $q \le$ | 特殊性质 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $1 \sim 3$ | $3$ | $10$ | $20$ | $10$ | 无 | | $4 \sim 6$ | $50$ | $300$ | ^ | $200$ | 无 | | $7,8$ | $200$ | $400$ | ^ | ^ | A | | $9 \sim 11$ | $500$ | $1000$ | ^| $10^5$ | ^ | | $12 \sim 15$ | ^ | $2 \times 10^4$ | ^ | $2000$ | B | | $16 \sim 19$ | ^ | $5 \times 10^5$ | ^ | $10^5$ | ^ | | $20,21$ | $2$ | ^ | ^| ^ | 无 | | $22,23$ | $500$ | ^ | $2$ | ^ | ^ | | $24,25$ | ^ | ^ | $20$ | ^ | ^ |

特殊性质 A：每条线路至多经过 $2$ 个地铁站，即对于所有 $i$（$1 \le i \le n$），均有 $k_i \le 2$。

特殊性质 B：对于所有线路经过的所有地铁站，从站厅走到对应线路站台的步行时间都相同，即存在正整数 $T$，使得对于所有 $i,j$（$1 \le i \le n$，$1 \le j \le k_i$），均有 $t_{i,j}=T$。

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由 fetch_luogu_statements.mjs v1.0.0 自动抓取生成；原始数据见 json/P17832.json。